学生的模型很好

综合评价模型是一类重要的数学模型，可以对多个备选对象进行评价、打分、排序等。经典的著名的方法包括TOPSIS方法、熵值法、层次分析法等，不过这些方法都超出了初中学生、甚至是高中学生学校所学习的知识（TOPSIS方法需要度量多维向量之间的距离、熵值法需要用到含对数函数熵值函数、层次分析法则需要了解线性代数中特征值特征向量的概念）。但是实际生活中经常见到评价类的问题，比如如何评价大学的优劣来帮助选择大学、给景点打分来确定旅游目的地、给候选人打分来选择合适的员工等。

在建模课上，我曾提出这样一个例子：

王老师每周六需要到郊区一所学校进行数学建模教学，现有电脑过于笨重，携带并不方便。现在他打算购置一个价位在五千元左右的新的笔记本电脑，请你设计数学模型帮助王老师选购一台合适的电脑。

这就是一个典型的评价问题，如何根据多项指标最终选出最合适的电脑。学习这次课程的是几个八年级的孩子，他们对该问题的解决提出了如下几类模型：

• 筛选模型。根据指标逐步筛掉不符合条件的备选项，保留到最后的即为最合适电脑

• 秩和比法。当然学生并没有提出这么专业的名词，但是过程是一致的：确立好评价指标之后，在每项指标下给所有备选对象进行排名(秩)，越好的排名越靠前(值越小),最终将每个电脑的排名累加，取分数最小的作为最优选择。 $$\min \quad S_i=R_{i1}+R_{i2}+...+R_{im}=\sum_{j=1}^{m}R_{ij} $$ 其中$S_i$为第$i$个评价对象的总得分，$R_{ij}$是第$i$个评价对象的第$j$个对象的值。一共有$m$个评选指标。

• 秩积法。类似于上一种方法，不过将秩进行累乘，同样选取最小值。 $$\min \quad S_i=R_{i1}\times R_{i2}\times...\times R_{im}=\prod_{j=1}^{m}R_{ij} $$ 其中$S_i$为第$i$个评价对象的总得分，$R_{ij}$是第$i$个评价对象的第$j$个对象的值。一共有$m$个评选指标。

• 含权重的秩积法。在排好顺序(秩)之后，根据对不同指标的重要性，在原始秩的基础上乘以一个权重表明不同指标的重要性（经提醒，学生意识到如果采用备选对象越好，值越小的方法的话，那么重要性大的指标乘上的权重也应该小）

• 其他方法，这里不再赘述了。

列举学生的这些解法是想要展示初中生如何思考和看待这个问题的。很显然，学生没有接触过诸如TOPSIS方法等方法，但他们的方法也是很有道理很有用的。甚至相比于更复杂的模型而言，他们的模型更“简洁”“易算”。能够解决“王老师”的问题。

学生的模型很好，但可以进一步提升

当一个学生或多个学生提出解决方案后，教师和学生都会有所思考和点评，会就学生的模型进一步进行讨论。上面列出的第二三四个方法就是一个方法递进的过程

• 初始想法：如何提出一个模型可以综合考虑各方因素
• 模型1：通过排序和累加得到综合得分
• 反思模型1：可否采用其他方法综合？
• 模型2：通过排序和累乘得到综合得分？
• 反思模型2：能够考虑不同指标重要性？
• 模型3：增加权重项可考虑指标重要性。
• ...

交流和总结的过程会促进学生对建模过程的反思，从而激发思维进一步改进模型。

学生学习建模之初会疑问：啥也没学，能够解决建模问题呢？ 答案是：可以的。就按照学生对问题的初始认识和想法，数学化（用符号表示，整理成模型。教师往往需要提供协助），其实就是在用数学建模解决问题了。教师可以可以充分相信学生可以初步解决问题。

下一步，很重要的是在充分尊重学生思考的基础上，协助学生完整地解决问题。之前在和学生进行案例分析时，我会让学生充分提出自己的想法，越多样越好。学生提出各种想法之后，我接下来开始系统讲解这方面解法，对于学生想法的具体落实就略过了。之所以略过，是考虑到时间有限，想法最重要，对于求解而言更花时间重要性也低。但现在想来，求解虽然繁琐，但仍有必要。求解代表模型应用的过程，这其中同样含有高价值的建模困难和思维突破。

让学生将自己提出的模型用于实践有如下好处：

• 求解过程中发现之前提出的想法太笼统，需要进一步细化、精确化。这也是一个数学化的过程，提升学生的量化思维。
• 求解过程中发现模型的漏洞，进行完善。比如考虑到了权重，也考虑到了如何为指标打分，但是在设定目标是找最小值时，就不能让重要性大的指标权重越大。
• 完整地解决问题有助于树立学生解决问题的信心。学生自己提出的模型不会太超出自己知识范围，所以一般是可以解决的。相比于只提想法，不解问题的“半拉子”方案，完整的方案更能让学生体会到数学建模的全貌。
• 引起学生对求解和具体运算、检验过程的重视。数学建模不只是提出建模想法，更是基于建模想法解决问题。学生在具体求解中发现了种种运算上的困难，或者体会到了运算上的“繁琐”等，会重视学习更简便的求解方法和借助计算机解决问题。

引领学生看得更远

在学生充分发挥自己想法解决了问题之后，教师和学生在此基础上进一步反思：模型有何优势和不足？如何改进？ 此时学生已“到达自己知识的边界”，对了解更复杂的但有助于提升自己模型的思路有个更多的渴望，此时，教师可以以学生现有模型的不足作为新模型引入的出发点，介绍新的模型。比如学生往往会觉得自己模型的权重过于主观，希望找到可以处理权重的方法，此时可以引入层次分析法、熵权法等模型。

小结

本文提出对于新接触数学建模的学生，教师需要充分尊重学生的建模想法，鼓励其完整解决问题。同时，在学生反思基础上引入新模型知识。